流沙,博士,擁有近10年CFD從業經驗,其編寫的《ICEM CFD簡明教程》在網上瘋傳,被學習者視為入門寶典。現已出版專著《ANSYS ICEM CFD工程實例詳解》,廣受好評!

本公眾號將陸續推送流沙的《小白的CFD之旅》——是小說,也是CFD教程;有故事性,也有技術點;小白,也許是現在的你,亦或是曾經的你

忙碌了一個學期終于放暑假了,小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些點綴著各種讓人眼花繚亂符號的數學公式,整個人就不好了。不過這些事情小白也不好意思去麻煩師兄師姐們,還得靠自己去摸索。正好趁著暑假把這些東西整理一下。小白覺得最基礎的CFD理論是流動控制方程,除此之外是各種數值算法。

所謂的流動控制方程,指的是流體流動過程中所需要遵循的物理規律,最常見的流動控制方程包括質量守恒方程、動量守恒方程與能量守恒方程。針對不同的流動工況,控制方程可能還包括組分守恒方程、湍流方程、狀態方程等。然而對于任何流動問題,都必須遵循質量守恒方程和動量守恒方程。在非常多去的參考文獻中,質量守恒方程也稱之為連續方程,而把動量方程稱之為納維-斯托克斯方程,簡稱NS方程,CFD的任務即求解NS方程。

1 連續方程(質量守恒方程)

連續性方程比較簡單。簡單來講,就是流入(流出)系統中的質量要等于系統質量的增加量(減少量)。

連續方程更嚴謹的表述為:

[控制體內流體質量變化率] = [穿過控制體表面的流體質量流量]

因此有:

式中,n為單位法向矢量。

利用高斯散度定理(一個矢量散度的體積分應等于這個體積表面通量的面積分),即:

則有:

改變形式可得:

式中,

由于推導過程中對控制體形狀未做任何限定,因此意味著

此即流動控制方程的質量守恒方程。

可展開為:

對于不可 壓縮流體介質,其密度ρ為常數,則質量守恒方程可簡化為:

展開即為:

2 隨體導數

隨體導數是流體力學中的概念,與數學上的導數概念有差異。隨體導數通常指流體微團歲時間的變化率。

隨體導數用

來表示。其形式為:

隨體導數非常有用。若將單位質量通用變量記為Φ,將對時間的隨體導數記為

,則有:

此方程定義了單位質量通用變量Φ對時間的變化率。而單位控制體體積內通用變量Φ的密度可通過密度ρ與Φ的隨體導數的乘積得到,即

此式表示單位控制體內通用變量Φ變化率的非守恒形式。

通過質量守恒方程

容易猜想通用變量Φ的守恒形式的各項可統一表示為:

轉換形式:

而根據質量守恒定律,有

故可得:

因此單位體積內Φ的變化率可表示為

3 動量守恒方程

應用牛頓第二定律,作用在流體微團上的合力等于流體質量與加速度的乘積,即

式中,Fx和ax分別為x方向上的分力與加速度。