有限元方法中的位移解、應變解和應力解

2017-02-06  by:CAE仿真在線  來源:互聯網

我們知道,經過單元方程的組裝以后,ANSYS所形成的結構靜力學有限元方程如下:

其中,{F}----節點載荷向量;[K]---總體剛度矩陣;xkvzergvhw---節點位移向量

在引入邊界條件以后,解上述方程組,就可以得到節點位移向量xkvzergvhw.這是求解結構靜力學方程組所得到的第一組解,它是最精確的。

得到節點的位移解后,下面是求取應變解和應力解。與位移解不同,它們并不是直接在節點上獲得,而是首先在積分點上獲得的。

所謂積分點是指,在對單元建立方程時,例如剛度矩陣是需要通過積分而得到的,而積分時為了能夠方便計算,大多數有限元軟件采用了所謂高斯積分的方式,即在單元內分布一些高斯點,如下圖的1,2,3,4點

這樣,有限元軟件會首先獲得這些高斯點的應力和應變,其方法如下:

在高斯積分點上,依據幾何方程

計算出高斯積分點上的應變

然后基于虎克定律及幾何方程推導的結果

來計算高斯積分點的應力。

可見,在應變和應力計算方面,高斯積分點的應變和應力是最最準確的。

那么,如何計算節點的應力和應變呢?

此時,利用特定單元的形函數以及高斯點的應力,應變值,將這些值外推到該單元的節點上,就得到了單元上節點的應力應變值。

顯然,不同的單元會共用一些節點,而從不同單元內的積分點外推到這些公共節點的應變值和應力值一般不相同,那么到底取哪個單元的外推結果呢?

此時,可以采用平均主義的思想。即使將一個公共節點的多個應力進行平均,以代表該節點的應力值,該平均過程稱為“平滑”。

總之,求解節點應力的步驟是:

(1)根據總體方程,得到節點的位移解。

(2)根據幾何方程,得到單元高斯點的應變解。

(3)根據物理方程,得到單元高斯點的應力解。

(4)在某一個單元內,基于形函數,將高斯點的應力外推到該單元的所有節點。

(5)對于某一個公共節點,將該節點關聯的所有單元所推出的該節點的應力解進行平均,最終得到該節點的應力解。

在ANSYS WORKBENCH的后處理中,如果我們加入了一個應力對象,我們可以看到其細節視圖中有下列選項---積分點結果選項,如下圖

那么這里面的7項是什么含義呢?

下面闡釋這七項的意義:

(1)unaveraged:顯示沒有進行平均的應力結果。

(2)averaged:顯示平均后的應力結果。

(3) nodal difference:對于公共節點,計算其相連各單元計算得到的非平均應力的差的最大值。

(4)nodal fraction:計算公共節點的nodal difference與節點平均值的比值。

(5)elemental difference:對于一個單元上的所有節點,計算其非平均結果的最大差值。

(6)elemental fraction:計算element difference與單元平均值的比值。

(7)elemental mean:根據平均化的應力結果來計算單元的平均值。

這樣,我們在瀏覽應力結果時,應根據需要來選擇我們需要查看的對象。

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